实分析

course code：B0111004Y 英文名称：Real Analysis course period：80 credit：4.00 course attribute：专业必修课 course lecturer：郝成春

《实分析》是数学相关专业的一门重要的专业基础课程。它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养。使学生了解近代抽象分析的基本思想；掌握集合测度的基本思想、基本方法；掌握可测函数的概念与基本性质；了解可测函数列的收敛性、可测函数与连续函数的关系；掌握Lebesgue积分的基本思想、基本性质以及积分极限定理及其应用；能较深刻理解测度和Lebesgue积分的必要性，掌握建立测度和Lebesgue积分的步骤；了解重积分与累次积分的关系；掌握有界变差函数与绝对连续函数的基本性质，了解微积分基本定理在Lebesgue积分情形下的推广；初步掌握Hilbert空间和Lp空间理论，以及抽象测度理论基础等等。

通过本课程的学习，要求学生掌握实分析中的基本概念、方法、技巧和一些重要的定理及结果，培养抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练的运算能力；掌握学习方法，培养自学能力。为进一步学习泛函分析、偏微分方程、调和分析、概率统计和随机过程等方向打下坚实的基础。

微积分

    Lebesgue测度，Lebesgue积分及收敛性定理，Hilbert空间和L^p空间理论，以及抽象测度理论基础。

课程的重点、难点：

    一个中心: 为了处理Riemann积分的中诸如微积分基本定理，Riemann可积，积分与极限交换次序等中的过于苛刻的条件，创立一套新的Lebesgue积分理论，并由此推广到一般测度空间上的积分理论，得到了一系列简洁且实用的结果。

    两个基本点: 掌握测度的相关定义(区间的体积→开集的体积→任点集的外测度→Carathéodory可测集和测度→可测函数)，可测集性质和诸多充要条件；和Lebesgue积分的定义(简单函数→有界函数→非负函数→可测函数)以及初等性质(线性、单调性、可列可加性和绝对连续性等)。

    三个原理：Littlewood三个原理，即三个“差不多”: 可测集与区间的有限并差不多(可测集的等价定义); 可测函数与连续函数差不多(Lusin定理); 可测函数列的收敛和一致收敛差不多(Egorov定理)。

     四个积分收敛定理+Fubini定理：主要讨论积分与极限交换次序的条件：有界收敛定理、Levi单调收敛定理、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理；Fubini定理是重积分化累次积分或累次积分换序的定理的统称，包括Fubini定理和Tonelli定理。

    N种收敛的相互关系：一致收敛(最强)、逐点/处处收敛、几乎处处收敛、近一致收敛、依测度收敛、子序列收敛、强收敛 (p次幂平均收敛、L^p范数收敛)、弱收敛等。

    微分理论：Lebesgue积分意义下的微分理论、有界变差函数与绝对连续函数的定义和性质、微积分基本定理等。

    Hilbert空间理论初步: 定义、正交性、闭子空间、正交投影、线性变换、自伴算子、紧算子等。

    L^p空间理论：Hölder和Minkowski不等式、线性泛函、Riesz表示定理、一致凸性、稠密函数类等。 

章节详细内容及要求：

    1. 测度论

1.1 预备知识：熟练掌握一些常用记号、集合的运算、理解Cantor集的构造和基本性质。

?1.2 外测度：熟练掌握外测度的定义、基本性质及其证明。

1.3 可测集与Lebesgue测度：熟练掌握Lebesgue可测集的基本性质、以及Borel集、F_σ集和G_δ集等概念；Lebesgue测度的连续性、平移及伸缩不变性；Lebesgue可测性的刻画；理解Vitali不可测集的构造和选择公理。

1.4 可测函数:掌握定义与基本性质、用简单函数或阶梯函数逼近；掌握Littlewood三大原理（可测集逼近定理；Egorov定理；Lusin定理）、Riesz定理和欧氏空间中连续函数的Tietze延拓定理；初步了解可测函数列的几种收敛性（一致收敛、逐点收敛、几乎处处收敛、几乎/近一致收敛、依测度收敛等）的概念及其相互关系。 

    2.积分理论

2.1 Lebesgue积分的基本性质与收敛定理：掌握如何从简单函数出发定义Lebesgue 积分，熟练掌握积分的基本性质、可积函数的几个重要的收敛定理（包括有界收敛定理、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Fatou引理等）；理解Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。

2.2 可积函数空间L¹: 理解线性空间、度量空间、范数、完备性、稠密性和可分性的定义及性质；掌握Riesz-Fischer定理及其证明，理解在L^1中稠密的几个函数类；了解积分的平移、伸缩及反射不变性。

2.3 Fubini定理及应用：熟练掌握Fubini定理和Tonelli定理的几个条件、乘积测度的基本性质；理解Fubini定理的证明思路。

2.4 Fourier反演公式：熟练掌握Riemann-Lebesgue引理和乘法公式；理解反演公式成立的条件。 

    3. 微分与积分

3.1 积分的微分：掌握Hardy-Littlewood极大函数的定义及其基本性质和Lebesgue微分定理；理解Vitali覆盖定理；了解稠密点、Lebesgue集集簇的正则收缩等概念。

3.2 好核和恒同逼近：掌握好核的定义和恒同逼近定理，理解Lebesgue集的作用。

3.3 函数的可微性（1维）：掌握有界变差函数和绝对连续函数的定义和性质及其相互关系、Jordan分解定理、旭日升引理和Dini导数；掌握微积分基本定理和分部积分公式成立的条件、积分中值公式；理解跳跃函数的可微性，并了解有界变差函数的奇异性和Lebesgue分解。

3.4 可求长曲线：了解可求长曲线的弧长参数化、Lipschitz函数和绝对连续函数等之间的关系和性质。 

    4. Hilbert空间的初等理论

4.1 L²空间：掌握L²空间的完备性和可分性。

4.2 Hilbert空间：掌握Hilbert空间的定义，及正交性、酉映射、准Hilbert空间的完备化等。

4.3 Fourier级数与Fatou定理：掌握Fourier系数的定义、Parseval等式和Fatou定理。

4.4 闭子空间与正交投影：掌握它们的定义和性质，以及与标准正交基相关的定理。

4.5 线性变换：掌握线性泛函和伴随算子及自伴的定义及其性质、Riesz表示定理、Lax-Milgram引理；了解算子的特征值和特征向量、Hilbert-Schmidt算子等。

4.6 紧算子：掌握紧算子的定义和基本性质、谱定理、Hilbert-Schmidt引理等。 

    5. 抽象测度与积分理论

5.1 抽象测度空间：掌握测度空间、Carathéodory可测、外测度、度量外测度和Borel测度的定义及其基本性质；掌握Carathéodory定理、Borel测度的正则性定理和Carathéodory-Hahn延拓定理。

5.2 测度空间上的积分：理解测度空间上的积分是Lebesgue积分的推广，掌握相关性质和收敛定理的推广。

5.3 例子：掌握乘积测度和一般的Fubini定理、极坐标的积分公式；理解一维欧氏空间上的Borel测度和Lebesgue-Stieltjes积分。

5.4 测度的绝对连续性：掌握带号测度、全变差、相互奇异、绝对连续的定义和性质，以及Jordan分解定理和Lebesgue-Radon-Nikodym定理。 

    6. L^p空间

6.1 L^p中的函数和范数：掌握Young、Hölder和Minkowski不等式和当p∈[1,∞)时范数的刻画；理解等价类、范数拓扑及一致凸性的表述。

6.2 L^p中的收敛性、完备性及简单函数的稠密性：掌握相关定义和完备性的证明，与之前L¹情形进行对比。

6.3 L^p中的弱收敛、范数收敛及多种收敛的关系：掌握各种收敛的定义并理解并总结它们之间的关系，了解相应的反例。

6.4 L^p范数的弱下半连续性：掌握定理的叙述和证明。

6.5 L^p中的线性泛函和Riesz表示定理：掌握线性泛函的定义以及Riesz表示定理的叙述和证明。

6.6 L^p（1了解Hanner和Clarkson不等式和反向Hölder和Minkowski不等式，及由此得到的一致凸性；理解用一致凸性证明Riesz表示定理的思路。

6.7 E为欧氏空间中Lebesgue可测集时的L^p（E）的可分性、平移连续性、弱收敛子列的选取和C^∞函数逼近：掌握可分性的证明、弱收敛子列的选取方法、范数平移连续性的证明；掌握L^p中的稠密函数类等。 

 

立足于实分析的教学内容，将德育与知识教学融于一体，借助知识点、数学史等，将知识传授与价值引领相结合，引导学生正确做人做事做学问，助力学生的全面发展。比如，在讲Lebesgue积分与Riemann积分的区别与联系及由Lebesgue测度推广到抽象测度时，讲做事的道理，将大问题尽可能划分成许多小问题，再复杂的事情都是由简单的事情组合起来的，以及由具体到抽象的研究步骤，需要我们用智慧去分解，理性平和地去做事，找到合适而有效的方法。

1、Elias M. Stein & Rami Shakarchi，Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 世界图书出版公司，2013. （ISBN：978-7-5100-4053-5）
2、G. B. Folland，Real Analysis：Modern Techniques and Their Applications（第2版），世界图书出版公司，2019.（ISBN：978-7-5192-6072-9）
3、H. L. Royden & P. Fitzpatrick，Real Anlaysis (第4版）， 机械工业出版社，2020.（978-7-111-64665-5）

1、周民强，实变函数论（第三版），北京大学出版社，2016.（ISBN: 978-7-301-27647-1）
2、周民强，实变函数解题指南（第二版），北京大学出版社，2018. （ISBN：978-7-301-29415-4）
3、汪林，实分析中的反例，高等教育出版社，2014.（978-7-04-038651-6）

期中（闭卷）、期末（闭卷）、平时成绩所占比例为30%、40%、30%。
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