李理论基础I、II

课程编码：011D9101Z﹡ 英文名称：Basis of Lie theory 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：聂思安

李群和李代数(Lie group and Lie algebra)是在1874年由挪威数学家SophusLie为研究微分方程的对称性而引进的。后经过E. Cartan 和H. Weyl等人的努力，李的理论已成了微分几何的重要研究工具并发展成完整的代数理论。上世纪初，人们发现了李群和李代数在量子物理起重要作用。如今，它在诸如微分几何、偏微分方程、拓扑、数论、控制论、代数编码、可积系统、算子理论、随机过程和计算数学等领域都有广泛的应用。另外，上世纪九十年代初，李理论也出现在生物学的遗传密码的演变中。
本课程打算详细介绍李理论的基础理论。课程的特点是各部分知识的关联性强，像也一个完整的逻辑剧本。它对培养学生的逻辑推理能力非常有用。

课程由两部分组成。第一部分为有限维李代数的结构和有限维表示基础，共六十个学时。第二部分由任课教师自由发挥，共二十个学时；内容选题如：
李代数的显式表示理论，李群及其表示和代数群等。细节如下：

(一）、有限维李代数的结构和有限维表示基础(60学时):
(1)、李代数的定义和例子，幂零性和可解性，Engel定理，李定理，Jordan-Chevalley分解和Cartan可解性判别准则。
(2)、Killing型，有限维半单李代数和它们间的关系；单李代数，半单李代数的单理想分解和导子；李代数的模和表示的定义，Weyl的完全可约性定理和Cartan根空间分解。
(3)、根系的公理和基本性质，特别基存在性；Weyl群及其性质，根系的分类、构造和自同构群；根格和饱和子集。
(4)、根系对有限维半单李代数的结构的决定；Cartan子代数在内自同构群下的共轭性，单李代数的自同构群，例外型单李代数的构造。
(5)、普遍包络代数和PBW定理，Verma模和有限维半单李代数的有限维不可约模的结构。Weyl特征标公式和有限维不可约模的维数公式；模的张量分解。

(二)、任课教师自由发挥教学选题(三选一，20学时):
(1)、李代数的显式表示理论：
a、典型李代数的基本微分算子表示，非典型微分算子表示。
b、旗型偏微分方程的多项式解,调和多项式基本定理和推广。
c、沈的混合积定理, 特殊线性李代数和辛李代数的射影微分算子表示及推广，正交李代数的共形微分算子表示及推广.

(2)、李群及其表示：
a、李群和李代数关系，指数映射；紧李群的Cartan子群和根系，实约化群的Cartan分解，实约化群的Iwasawa分解。
b、齐性流形和商群；覆盖同态和单连通李群，连续同态和闭子群。
c、李群的有限维表示及共轭表示，Weyl酉技巧及紧李群的有限维表示，紧李群的无穷维酉表示及Peter-Weyl定理，局部凸拓扑向量空间及李群表示，光滑表示及傅里叶级数的收敛性。

(3)、代数群：
a、代数群的定义，嵌入定理，交换代数群，一维交换代数群的分类。
b、求导，微分形式模，切空间（映射），光滑性，代数群的李代数，Lang定理。
c、Chevalley定理，Zariski主定理，齐性空间，抛物子群和Borel子群，Borel不动点定理，
d、简约代数群，秩等于一的半单代数群，根子群，Bruhat分解定理，Grassmann流型的几何，简约代数群的构造和分类，Tits群。

[1] A. Borel, Linear algebraic groups, Second edition, Graduate
Texts in Mathematics 126, Springer-Verlag, New York, 1991.
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc., 1972.
[3] J.E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in
Mathematics 21, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
[4] T. Springer, Linear algebraic groups, Second edition, Progress
in Math.9, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA 1998
[5]W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Graduate Texts
in Mathematics 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[6] X. Xu, Representations of Lie Algebras and Partial Differential
Equations, Springer, Singapore, 2017.