群论

课程编码：B0212001Y 英文名称：Group Theory 课时：60 学分：3.00 课程属性：专业课 主讲教师：杨德山

本课程为物理学科本科生的专业选修课。主要学习群论与群论方法在物理学对称性研究中的基本应用，重点要求掌握群及其线性表示的基本理论，掌握点群、三维转动群、置换群的基本性质。通过本课程的学习，希望学生掌握群论的基本知识，特别是学会用群论研究物理系统对称性质的方法。

线性代数

第零章 群论与对称性及相关数学准备 6课时
教学目标：本章介绍群的定义，并结合具体物理系统中对称变换与对称性实例阐明群论是物理系统中对称性研究的系统工具；综述本课程必备的集合论与线性代数基础知识，为后续群、矩阵群和群表示论做好数学准备。
主要内容：
1. 群的定义、群论与对称性的关系、及其在具体物理系统中的应用简单介绍。（1课时）
2. 集合论复习：集合、集合上的映射、映射的复合、等价关系和划分； （1课时）
3. 线性代数复习：线性空间及线性空间的基底、线性空间的直和与直积、线性映射(变换)与矩阵、矩阵的若干运算和性质；（2课时）
4. 线性代数复习：线性空间的基底变换与相似变换、方阵的对角化与本征值问题、矩阵的直乘等概念。（2课时）
重点：线性空间和线性变换
难点：线性映射的矩阵表示、线性映射的不变子空间概念。
第一章 群的基本概念 （12课时）
教学目标：学习群的定义及相关性质、群的各种重要子集、群之间的同态与同构映射关系。通过具体例子了解物理系统中的有限群和连续群，特别是点群。
主要内容：
1. 群的定义及一般性质、物理系统中经常用到的群、群的简单分类、生成元与秩；
2. 有限群的重排定理及乘法表、由重排定理给出一些低阶群的乘法表；
3. 子群、陪集、拉格朗日定理；
4. 共轭元素、共轭等价类、不变子群和商群；
5. 置换群：定义、乘法规则、轮换结构、子群、共轭等价类；
6. 群的同态定理：同构与同态、同态定理等；
7. 群的直积和半直积；
8. 点群简介(1)：点群的定义，N阶循环群CN 的定义、构造、生成元、子群、类等概念；
9. 点群简介(2): 正N边形对称群DN 的定义、生成元、子群、类等概念；
10. 点群简介(3)：正多面体对称群T群、O群和I群 的定义、生成元、子群、类等概念；
11. 点群简介(4)：I型和P型非固有点群的定义及构造；
12. 群作用：群作用的定义、G-集、稳定化子、轨道、固定点、Burnside引理等；
重点：群的定义、子集、同态映射，平移群、空间群、晶体点群、主轴
难点：共轭等价类、商群、同态定理、群作用、非固有晶体点群
第三章 群的线性表示理论 （18课时）
教学目标：掌握群的线性表示基本理论，包括等价表示和表示的幺正性、不可约表示及表示的约化、舒尔定理与有限群的不等价不可约表示、有限群的特征标表、表示的直接乘积及其约化、维格纳-埃伽定理、克莱布施-戈登级数与系数。
主要内容：
1. 线性表示的定义、特征标；真实表示、非真实表示、恒等表示、自身表示、幺正表示、实正交表示；
2. 群的表示空间、等价表示、有限群表示的幺正性；
3. 群空间、群函数、群代数；
4. 有限群的正则表示及其性质；
5. 有限群的可约表示与不可约表示的定义及一般性质；
6. 舒尔定理及其推论；
7．正交定理及其推论；
8. 表示的完备性；
9. 有限群不可约表示的特征标表的构造；
11. 分导表示与诱导表示；
12. 有限群正则表示的约化：不可约标准基、群代数的理想、幂等元、原始幂等元；
13. 置换群不可约表示简介(1)：杨图、杨表、正则杨表、杨算符；
14. 置换群不可约表示简介(1)： 不可约表示的构造、杨算符的应用；
15. 物理应用(1)：定态波函数按对称群表示分类、有限群直乘表示的约化、克莱布施-戈登级数与系数；
16. 物理应用(2)：维格纳-埃伽定理、不可约张量算符及其矩阵元；
17. 物理应用(3)：正则简并与偶然简并、选择定则；
18. 物理应用举例。
重点：(不)可约表示、特征标、表示空间、不可约张量、C-G级数与系数、维格纳-埃伽定理
难点：有限群的特征标表、舒尔引理、正交定理、可约表示的约化、杨算符
第四章 李群初步及三维转动群 14 课时
教学目标：三维转动群是最简单并且在物理上最常用的李群。本章通过对三维转动群及其表示的系统研究，介绍李群及其表示理论的一些基本概念，并展示群论方法在物理学中应用的一般途径。
主要内容：
1. 李群定义、组合函数的性质、一些李群的例子；
2. 群空间及其一般整体性质、紧致李群上的积分；
3. 李群的线性表示、生成元、不可约表示；
4. 李氏第一和第二定理；
5. 李氏第三定理、李代数、李群的伴随表示；
6. SO(3)群的定义、参数化及群空间；
7. SO(3)群李代数、自身表示及群上的积分；
8. SO(3)群的欧拉角参数化；
9. SU(2)群的参数化、群空间、李代数；
10. SU(2)群与SO(3)群的同态对应关系、SU(2)群上的积分；
11. SU(2)群在二元齐次多项式复函数空间上的作用及这些表示的不可约性及完备性；
12. SU(2)群不可约表示的生成元、直乘表示的约化、克莱布施-戈登(C-G)级数与系数；
13. SO(3)群、SU(2)群与角动量理论的联系；
14. 标量场、矢量场、旋量场、张量场及其在空间转动下的变换规则。
重点：李群的群空间、组合函数、生成元、李代数、SO(3)群(SU(2)群)的不可约表示、克莱布施-戈登级数
难点：Haar测度、李氏三定理、角动量理论
第五章 晶体的对称性 2-4课时
教学目标：从群论的角度研究晶体的对称性，讨论32种晶格点群、7种晶系、14种布拉菲格子和73种简单空间群的性质。
1. 晶体的对称性与空间群：从晶体结构的数学抽象谈起，介绍晶体系统中的一般对称性操作：平移、旋转、及其复合；介绍平移群、空间群、简单空间群、晶体点群等概念；由平移操作对旋转的限制，给出所有可能的晶体点群（11种固有点群和21种非固有点群）；
2. 7大晶系与14种布拉菲格子： 通过点群操作对晶格形状的限制，给出七大晶系；并进一步讨论点群操作对原始格子上增加不破坏原始格子对称性点的限制，给出14种布拉菲格子和73种空间群。
重点：群的定义、子集、同态映射，平移群、空间群、晶体点群、主轴、晶系、布拉菲格子
难点：共轭等价类、商群、同态定理、群作用、非固有晶体点群、布拉菲格子

教学手段与方法：
以ppt与板书结合方式进行课堂讲授，采取课堂提问的方式进行课堂互动交流，适当安排习题课讲解习题。课程讲解52-54课时、习题课4-6课时、考试2课时。
考核方式：平时作业成绩占总成绩40%，期末闭卷笔试占总成绩60%。

《物理学中的群论》，马中骐著，第二版，科学出版社。

《群论》，孙洪洲、韩其智著，北京大学出版社。
《Group Theory in a nutshell》，徐一鸿，Princeton University Press。

教育经历

1. 1993.9-1997.7 核物理专业学士 中国科学技术大学近代物理系
2. 1997.9-2002.7 理论物理学博士 中国科学院高能物理研究所
导师：杜东生 （1995年中国物理学会第四届吴有训物理奖获得者）
出国学习工作

2002.9-2004.9 德国洪堡基金会学者 亚琛工业大学理论物理研究所
导师：M.Beneke （2008年德国DFG Leibniz奖获得者）
2. 2004.11-2006.11 日本学术振兴会外国人研究员 名古屋大学物理系
导师： 三田一郎 （2004年美国物理学会Sakurai奖获得者）

2006.8至今 中国科学院大学物理科学学院副教授